Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan

Nama: Alda Eka Febriyanti
Absen: 2
Kelas: XI IPS 3

Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan

1. Sebuah produksi rumahan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan $(150x-x^{2})$ rupiah . Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh dari x buah barang tersebut ! Tulislah langkah penyelesaiannya !

Pembahasan
Misal
Keuntungan kita simbolkan dengan k, maka
$k=(150x-x^{2}). x$
$k=150x^{2}-x^{3}$
$k^{'}=300x-3x^{2}$
diperkecil menjadi
$k^{'}=100x-x^{2}$

Jika $k^{'}=0$ , maka
$100x-x^{2}=0$
$x(100-x)=0$
$\textup{x=0 dan x=100}$

$k=150x^{2}-x^{3}$
$k=150(100)^{2}-100^{3}$
$k=150(10.000)-1.000.000$
$k=1.500.000-1.000.000$
$k=500.000$

2. Sebuah benda dilemparkan keatas dengan persamaan gerak $S=150t-5t^{2}$ (S dalam meter dan t dalam detik). Tentukan kecepatan dalam detik kelima !

Pembahasan :

$S=150{\color{DarkOrange} t}-{\color{DarkOrange} 5}t^{{\color{DarkOrange} 2}}$
$S^{'}=150-{\color{DarkOrange} 10}t$
$0=150-10t$
${\color{DarkOrange} -150}=-10t$
$\frac{-150}{{\color{DarkOrange} -10}}=t$
$t= 15$

langkah selanjutnya kita akan menghitung panjang lintasan atau s, yaitu dengan cara mensubtitusikan nilai t yang barusan kita cari kedalam persaman gerak $S=150t-5t^{2}$

$S=150t-5t^{2}$
$s =150(15)-5(15)^{2}$
$s =2.250-1.125$
$s =1.125$

nah ini perlu diingat bahwa t yang dibawah itu adalah t = 5 (dalam waktu 5 detik)
$v =\frac{s}{{\color{DarkOrange} t}} = \frac{1.125}{{\color{DarkOrange} 5}}= 225$

3. Suatu benda diluncurkan ke atas sehingga lintasan pada ketinggian h meter dalam setiap t detik dirumuskan dengan $h(t)=100t-5t^{2}$ . Ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah ...
a. 460 m
b. 400 m
c. 450 m
d. 500 m
e. 540 m

Pembahasan :

$h(t)=100t-5t^{2}$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:

$h'(t)=0$

$\Leftrightarrow h'(t)=100-10t$

$\Leftrightarrow 100-10t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{100}{10}=10$
waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum t = 10 detik, sehingga tinggi maksimumnya adalah

$h(t)=100t-5t^{2}$ untuk t = 10

$h(10)=100(10)-5(10)^{2}$

$h(10)=1000-500=500$
jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda adalah 500 meter.

4. Koordinat titik minimum dari grafik fungsi $f(x)=x^3-3x^2-24x+6$ adalah ...
a. (-2,-72)
b. (-2,-64)
c. (-4,-72)
d. (4,-72)
e. (4,-64)

Pembahasan :

$f(x)=x^3-3x^2-24x+6$

$f'(x)=3x^2-6x-24$
Stasioner $f'(x)=0$

$3x^2-6x-24=0$

$(x-4)(x+2)=0$

$x=4$ atau $x=-2$

$f(4)=(4)^3-3(4)^2-24(4)+6=-72$ (minimum)

$f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2-24(-2)+6=34$ (maksimum)
Jadi, koordinat titik minimum grafik fungsi tersebut adalah (4,-72)

5. Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^3-2x^2+3x+7$ dititik yang mempunyai absis $x=1$ adalah ...
A. $y=4-2x$
B. $y=6-2x$
C. $y=2x+7$
D. $y=2x+10$
E. $y=2x+11$
Pembahasan :
Untuk $x=1$ , $y=1^3-2(1)^2+3(1)+7 = 9$
titik singgung garis di $(1,9);x_{1}=1$ dan $y_{1}=9$ .
Gradien garis singgung

$m=y^{1}=3x^2-4x+3$
untuk $x=1,m=3(1)^2-4(1)+3=2$
Jadi, persamaan garis mempunyai gradien 2 dan melalui titik $(1,9)$ adalah
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-9=2(x-1)$
$y-9=2x-2$
$y=2x+7$

6. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Hubungan tinggi peluru (h) dalam meter dengan waktu dalam sekon dinyatakan dengan $h(t)=200t-4t^2$ . Waktu untuk mencapai tinggi maksimum adalah ...
A. 10 sekon
B. 20 sekon
C. 25 sekon
D. 30 sekon
E. 35 sekon

Pembahasan :

$h(t)=200t-4t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$h'(t)=0$
$\Leftrightarrow h'(t)=200-8t$

$\Leftrightarrow 200-8t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{200}{8}=25$
Jadi, waktu maksimum yang diperlukan adalah 25 sekon

7. Pada percobaan meluncurkan sebuah roket mempunyai lintasan berbentuk parabola dan pada t sekon ketinggian h meter dirumuskan dengan $h(t)=200t-25t^2$ . Tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh roket adalah ...
A. 340 m
B. 354 m
C. 360 m
D. 400 m
E. 420 m

Pembahasan :
$h(t)=200t-25t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$x^2+3x-5$ $h'(t)=0$
$\Leftrightarrow h'(t)=200-50t$

$\Leftrightarrow 200-50t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{200}{50}=4$
waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum t = 4 detik, sehingga tinggi maksimumnya adalah
$h(t)=200t-25t^2$ untuk $t=4$

$\Leftrightarrow h(4)=200(4)-25(4)^2$

$\Leftrightarrow h(4)=800-400=400$
jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda adalah 400 meter.

8. Sebuah peluru ditembakan vertikal keatas. Tinggi peluruh (h) dalam meter dengan waktu (t) dalam sekon dinyatakan dengan $h(t)=21t-6t^2.$ Waktu untuk mencapai tinggi maksimum adalah ...
A. 1 sekon
B. 1,25 sekon
C. 1,5 sekon
D. 1,75 sekon
E. 2 sekon
Pembahasan :

$h(t)=21t-6t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$h'(t)=0$

$\Leftrightarrow h'(t)=21-12t$

$\Leftrightarrow 21-12t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{21}{12}=1,75$
Jadi, waktu maksimum untuk mencapai ketinggian adalah 1,75 sekon

9. Turunan pertama dari $f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2-5x+10$ adalah ...
A. $x^2+3x-5$
B. $2x^2+x-5$
C. $2x^2+3x-5$
D. $2x^2+6x-5$
E. $2x^2+6x+5$

Pembahasan :

$f'(x)=\frac{2}{3}.3x^{3-1}+3.2x^{2-1}-5.1x^{1-1}$
f'(x) = 2x² + 6x - 5

10. Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak $y =5t^{2}-4t +8$ dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik