Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

Nama : Alda Eka Febriyanti 

Absen : 2

Kelas : XI IPS 3 

 

 

Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal 

 

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dengan gradien m adalah : $$y-y_1=m(x-x_1)$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$

• 
  

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$

2. = 3

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$m=tan\alpha$$

Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $m_A=m_B$

• Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$

. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$

dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

Contoh Soal :

 

Soal Nomer 1

Tentukanlah persamaan pada garis singgung bagi kurva y = x² + 3x pada titik (1,3)

Pembahasan
f(x) = x2 + 3x
f'(x) = 3x + 2
m = f ‘(1) = 3(1) + 2 = 5
m = 5

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah:
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 3 = 5(x − 1)
y − 3 = 5x − 5
y = 5x − 2

Soal Nomer 2

Tentukanlah Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x³ – 3x² pada titik berabsis 2

Pembahasan
Absis itu ialah sumbu -x, jadi x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 3x³ – 2x²
y = 3(2)³ − 3(2)²
y = 24 – 12
y = 12
Jadi titik singgung : (2, 12)

Langkah ke- 2: Cari nilai dari gradien
f(x) = 3x³ – 3x²
f ‘(x) = 9x² – 6x
m = f ‘(2) = 9(2)² − 6(2)
m = 36 – 12
m = 24

Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 12 = 24(x − 2)
y = 24x – 36

Soal Nomer 3

Tentukanlah persamaan pada garis singgung pada kurva y = 2 + 3x – x² sejajar dengan garis 2x + y = 3

Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari nilai dari m₁
y = 2 + 3x – x²
m₁ = f'(x) = -3x + 2
m₁ = -3x + 2

Langkahke-2 : Carilah nilai dari m₂
2x + y = 3
y = -2x + 3
m₂ = -2 (Ingat !! Apabila y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah ke-3 : Cari nilai dari x
Dikarenakan kedua garisnya saling sejajar maka berlakunya :
m₁ = m₂
-3x + 2 = -2
-3x = -4
x = 1,3
Langkah ke-4 : Cari nilai dari y yang memasukkan nilai dari x = 1,3
y = 2 + 3x – x²
y = 2 + 2(1,3) – (1,3)²
y = 2 + 2,6 – 1.69
y = 2.91

Sekarang kita sudah mempunyai titik singgung (1.3,2.91)

Langkah ke-4: Persamaan dari garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2.91 = -2(x – 1.3)
y = -2x + 5.51

Soal Nomer 4

Carilah sebuah persamaan dari garis singgung di kurva y = x² – x + 3 pada titik yang berordinat pada 5 ?

 

Pembahasan
Ordinat itu yakni sumbu -y, jadinya nilai y = 5

Langkah ke-1 : Cari titik pada singgung dengan cara memasukkan nilai y yakni 5
y = x² – x + 3
5 = x² – x + 3
x² – x + 3 – 5 = 0
x² – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi ada dua titik singgung yakni : (2,5) ataupun (-1,5)

Langkah ke-2: Carilah nilai dari gradien
Nilai gradien bagi x = 2
f(x) = x² – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(2) = 2(2) – 1
m = 3

Nilai gradien bagi nilai x = -1
f(x) = x² – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(-1) = 2(-1) – 1
m = -3

Langkah ke-3: Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
Dikarenakan kita mempunyai dua titik singgung, yang tentunya akan terdapat dua persamaan pada garis singgung

Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (2,5) dan m = 3
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = 3(x – 2)
y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1

Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (-1,5) dan m = -3
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = -3(x – (-1))
y – 5 = -3x – 3
y = -3x + 2

Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 ataupun
y = -3x + 2

Soal Nomer 5

Tentukanlah persamaan dari garis singgung pada kurva y = x³ – 3x² – 5x + 10 apabila gradien garis singgungnya yakni 4 ?

Pembahasan
Langkah ke-1: Carilah titik singgung pada f(x) = x³ – 3x² – 5x + 10
f'(x) = 3x² – 6x – 5
m = f'(x)
4 = 3x² – 6x – 5
3x² – 6x – 9 = 0 (lalu bagi dengan 3)
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 ataupun x = -2

Bagi x = 3
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = 3³ – 3(3)² – 5(3) + 10
y = 27 -27 – 15 + 10
y = -5
Jadi Titik singgung yang pertama (3,-5)

Bagi x = -2
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = (-2)³ – 3(-2)² – 5(-2) + 10
y = -8 – 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung yang kedua (-2,0)

Langkah ke-2: Menentukan sebuah persamaan dari garis singgung
bagi titik singgung yang pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Bagi titik singgung yang kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi terdapat dua persamaan garis singgung yakni :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal Nomer 6

Tentukanlah sebuah persamaan pada garis singgung di kurva y = 3 – x² secara tegak lurus kepada garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari lah nilai m₁
y = 3 – x²
m₁ = f'(x) = -2x
m₁ = -2x

Langkah ke-2 : Cari lah nilai m₂
4y = x + 1
y = 1 4 x + 1 4
m₂ = 1 4 (Ingat ya!! Apabila y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah ke-3 : Cari lah nilai x
Dikarenakan kedua garis yang tegak lurus maka berlakunya :
m₁ . m₂ = -1
m₁ . 1 4 = -1
m₁ = -4

Masukkan lah nilai m₁ didalam persamaan pada langkah ke-1 :
m₁ = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah ke-4 : Carilah nilai y dengan cara memasukkan nilai yakni x = 2
y = 3 – x²
y = 3 – 2²
y = 3 – 4
y = -1
Jadi, titik singgungnya yakni: (2,-1)

Langkah ke-5 : Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-1) = -4(x – 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7
Jadi, persamaan pada garis singgungnya yaitu y = -4x + 7

Soal Nomer 7

Tentukanlah Sebuah Persamaan garis singgungnya pada kurva y = 2x – 3x² pada titik menggunakan absis 2

Pembahasan
Absis itu merupakan sumbu-x, jadinya x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 2x – 3x²
y = 2(2) − 3(2)²
y = −8
Jadinya titik singgung : (2, −8)

Langkah ke-2: Carilah nilai gradien
f(x) = 2x − 3x²
f ‘(x) = 2 − 6x
m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadinya, persamaan pada garis singgungnya ialah
y – y₁ = m(x – x₁)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Soal Nomer 8

Tentukanlah Sebuah Persamaan pada garis singgung pada kurva y = x² pada titik berabsis yakni -2

Pembahasan
Absis itu ialah pada sumbu-x, jadinya x = -2:

Langkah ke-1 : Carilah titik singgung dengan cara memasukkannya pada nilai x = -2
y = x²
y = (-2)²
y = 4
Jadinya titik singgung yakni : (-2, 4)

Langkah ke-2: Carilah nilai gradiennya
f(x) = x²
f ‘(x) = 2x
m = f ‘(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadinya, persamaan dari garis singgungnya yakni
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 4 = -4(x − (-2))
y – 4 = -4x – 8
y = -4x – 4

 

Daftar Pustaka ;

https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html

https://materibelajar.co.id/persamaan-garis-singgung/