Penerapan Turunan: Kemonotonan, Interval Fungsi Naik/Turun, Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Nama: Alda Eka Febriyanti 

Absen: 2

Kelas: XI IPS 3

Contoh Soal Penerapan Turunan

1. Interval x yang membuat kurva fungsi f (x)= x³ − 6x² + 9x + 2 selalu turun adalah ....

A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau 

 

Pembahasan:

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.

Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah 

 

$1<x<3$

 

 

2. Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan:

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.

Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah

 

$x<1\text{atau}x>2$

 

3. Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$

. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah

 

 $x\le 2\text{atau}x\ge 6$

4. Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

Pembahasan:

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.

Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\end{array}$$\begin{array}{c}\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah

 

 $-2\le x\le 0$

 

5. Grafik fungsi $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ akan selalu naik dalam interval $x<-4$ atau $x>1$. Nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan

Diketahui $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$

dan $L\left(x\right)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+4)(x-1)& >0& & \\ x^2-x+4x-4& >0& & \\ x^2+3x-4& >0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $L\left(x\right)$ adalah $L^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+18bx-24$.
Grafik fungsi $L\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $L^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+18bx-24& >0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6& & \\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0& & (\cdots 2)\end{array}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $\left(1\right)$.
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& >0\\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{a}{2}& =1\Rightarrow a=2\\ \bullet 3b& =3\Rightarrow b=1\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=2+1=3$

 

Contoh Soal Kemonotonan

 

 

 

3.  Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x² – x, untuk:

a. D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2},

b. D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.

Jawaban :

f(x) = 2x² – x ↔ f '(x) = 4x – 1

4x – 1 = 0 ↔ x = ¼.

a. x = 1/4 anggota D_f = { x | 1 ≤ x ≤ 2} ....(1)

f(–1) = 2 (–1)² – 1 = 1 ....(2)

f(2) = 2 (2)² – 2 = 6 ....(3)

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum dan f (¼) = - 1/8 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² – x

dengan :

D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.

b. x = .... bukan anggota D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}

f(–6) = 2 (–6)² – (–6) = 78

f(–4) = 2(–4)² – (–4) = 36

Jadi, fungsi f(x) = 2x² – x dengan D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.

 

4.  Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.

1. f(x) = –x² pada selang (0,1)

2. f(x) = 10x – x² pada selang (0,10)

Pembahasan :

1. f(x) = – x² maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x² pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun.

2. f(x) = 10x – x² maka f '(x) = 10 – 2x.

Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.

f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5. 

Dengan demikian, f(x) = 10x – x² pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

 

 

 

 

 

Daftar Pustaka : https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/

https://mandorblogger.blogspot.com/2019/03/contoh-soalpenyelesaian-kemonotonan-dan_8.html