Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan Pertama dan Turunan Kedua

Nama : Alda Eka Febriyanti
Absen : 2
Kelas : XI IPS 3

 

Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan Pertama dan Turunan Kedua 

 

1. Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$

Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$

2. Jika turunan pertama dari $y=(x^2+1)(x^3-1)$ adalah $y^{\prime }=a{x}^4+b{x}^2+cx$ dengan $a,b,c\in Z$, maka nilai dari $abc=\cdots \cdot$
A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
B. $-30$                   D. $30$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1\end{array}$

Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x\end{array}$
Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
Catatan: $Z$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $abc=5\left(3\right)(-2)=-30$

 

3. Diketahui $f\left(x\right)=|x|$. Jika turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(999\right)=\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\frac{1}{999}$                E. $999$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan

Diketahui $y=f\left(x\right)=|x|$

.
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{array}{cc}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =2x\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{x}{y}=\frac{x}{|x|}\end{array}$.
Untuk $x=999$, diperoleh
$f^{\prime }\left(999\right)=\frac{999}{|999|}=1$

4. Turunan pertama dari invers fungsi $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$

adalah $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $-\frac{1}{2}$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$

.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f\left(x\right)=y$.
$\begin{array}{cc}y& =\frac{x-1}{2}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}\left(y\right)\\ 2x+1& =f^{-1}\left(x\right)\end{array}$
Jadi, invers fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=2x+1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=2$

5. Invers dari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=3x^2+4x-2$

adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{x-4}{6}$                   D. $\frac{6}{x+4}$
B. $\frac{x+4}{6}$                   E. $\frac{x-4}{x+4}$
C. $\frac{6}{x-4}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=3x^2+4x-2$

.
Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =3\left(2\right)x^{2-1}+4\left(1\right)x^{1-1}-0\\ & =6x+4\end{array}$
Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f^{\prime }\left(x\right)=6x+4$.
Misalkan $f^{\prime }\left(x\right)=y$ sehingga

 

Jadi, invers dari turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $\frac{x-4}{6}$

6. Apabila $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$

Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$

7. Jika $R\left(t\right)=t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{3}{2\sqrt{t}}$
B. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2\sqrt{t}}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
D. $\frac{2}{3}\sqrt{t}-\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}R\left(t\right)& =t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}=t\cdot t^{1/2}+\frac{1}{t\cdot t^{1/2}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$

Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}& =\frac{3}{2}{t}^{3/2-1}-\frac{3}{2}{t}^{-3/2-1}\\ & =\frac{3}{2}{t}^{1/2}-\frac{3}{2}{t}^{-5/2}\\ & \\ & =\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

 

8.  Diberikan $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$. Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$

.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$

9. Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$

. Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$

.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$

 

10. Jika $f\left(m\right)=4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}$

, maka nilai $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{11}{4}$                 C. $\frac{7}{4}$                  E. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{5}{4}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}f\left(m\right)& =4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}\end{array}$

Turunan pertama dari $f\left(m\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(m\right)& =0+\frac{3}{4}{m}^{3/4-1}+3\end{array}$$\begin{array}{c}\cdot \frac{2}{3}\end{array}$$\begin{array}{c}\frac{}{}{m}^{2/3-1}\\ & =\frac{3}{4}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & =\frac{3}{4\sqrt[4]{4m}}+\frac{2}{\sqrt[3]{3m}}\end{array}$
Untuk $m=1$, diperoleh
$f^{\prime }\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt[4]{41}}+\frac{2}{\sqrt[3]{31}}=\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{11}{4}$
 

 

Daftar Pustaka : https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi-aljabar/