Soal Cerita Menentukan Nilai Optimum

Nama : Alda Eka Febriyanti

Absen ; 2

Kelas : XI IPS 3

Menentukan Nilai Optimum dalam soal cerita

1. Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan

Jawab :
Misalkan
x = banyaknya sepeda jenis A
y = banyaknya sepeda jenis B
maka dapat disusun kendala biaya dan waktu produksi sebagai berikut:
200000x + 100000y ≤ 1200000
20x + 30y ≤ 240
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
2x + y ≤ 12
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)
Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 12 maka 2x + 6 = 12, sehingga 2x = 6, jadi x = 3
Jadi koordinat titik B adalah B(3, 6)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000
B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000
C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000
Jadi hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan adalah Rp. 6.600.000

2. Seorang anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 500 perbutir dan tablet kedua Rp. 1.000 perbutir maka agar pengeluaran minimum banyak tablet pertama yang harus dibeli adalah …

Jawab :
Misalkan :

x = banyaknya tablet jenis pertama
y = banyaknya tablet jenis kedua
maka dapat disusun kendala kebutuhan vitamin A dan vitamin B sebagai berikut:

Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni :
2x + 3y ≥ 12

2x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi pengeluaran f(x, y) = 500x + 1000y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)
Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 8 maka 2x + 2 = 8, sehingga 2x = 6 , x =3

Jadi koordinat titik B adalah B(3, 2)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 500x + 1000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 500(0) + 1000(8) = 8.000
B(3, 2) → f(B) = 500(3) + 1000(2) = 3.500
C(6, 0) → f(C) = 500(6) + 1000(0) = 3.000
Jadi besarnya pengeluaran minimum Rp. 3.000 didapat jika dibeli 6 tablet pertama

3. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh laba perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B agar diperoleh laba maksimum ?

Jawab :
Misalkan
x = banyaknya minuman jenis A
y = banyaknya minuman jenis B
maka dapat disusun kendala modal dan kapasitas kios sebagai berikut:
x + y ≤ 500
2000x + 4000y ≤ 1.600.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 500
x + 2y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi laba : f(x, y) = 800x + 600y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 400)
Titik C koordinatnya adalah C(500, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200
Jadi koordinat titik B adalah B(200, 300)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :
A(0, 400) → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000
B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000
C(500, 0) → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000
Jadi keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh jika dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol

4. Pak Dahlan akan menambah dagangan helmnya. Dengan keterbatasan tempat, helm jenis A dan jenis B tidak melebihi 50 helm. Harga pembelian helm jenis A Rp120.000,00 dan harga helm jenis B Rp90.000,00. Dari penjualan helm-helm tersebut diperoleh keuntungan Rp30.000,00 untuk setiap helm jenis A dan Rp25.000,00 untuk setiap helm jenis B. Jika model pedagang tersebut Rp5.400.000,00, Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawab:

Misalkan: x = banyak helm jenis A

y = banyak helm jenis B

Model sistem pertidaksamaan

x + y ≤ 50 . . . (1)

120.000x + 90.000y ≤ 5.400.000

4x + 3y ≤ 180 . . . (2)

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y

Grafik sistem pertidaksamaan

Menentukan titik potong B.

x + y = 50 × 4 4x + 4y = 200

4x + 3y = 180 × 1 4x + 3y = 180

---------------------- -

y = 20

Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (1)

x + 20 = 50 atau x = 50 – 20

x = 30

Diperoleh titik B(30, 20)

Uji titik pojok

	f(x, y) = 30.000x + 25.000y
(0, 50) (30, 20) (45, 0)	30.000 × 0 + 25.000 × 50 = 1.250.000 30.000 × 30 + 25.000 × 20 = 1.400.000 30.000 × 45 + 25.000 × 0 = 1.350.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Pak Dahlan sebesar Rp1.400.000,00.

5. Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata – rata bus 24 m2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2.000,00 dan tarif parkir bus Rp5.000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah....

Jawab:

Misalkan:

x = banyak mobil
y = banyak bus

Perhatikan tabel di bawah!

Pemodelan Matematika pada Program Linear

Diperoleh dua persamaan:

x + y ≤ 30
6x + 24y ≤ 360 → x + 4y ≤ 60

Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:

Contoh Soal Ujian Nasional Program Linear

Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut.

Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi.

Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x.

x + y = 30
x + 10 = 30
x = 30 – 10 = 20

Koordinat titik B adalah (20, 10)

Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh:

Fungsi Objektif Pembahasan Soal Ujian Nasional Program Linear SMA

Jadi, jawabannya adalah Rp. 90.000,00

6. Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….

Jawab:

Pemisalan:

x = banyak payung A
y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y

Fungsi kendala:

x ≥ 40
y ≥ 50
x + y ≤ 100

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Daerah Penyelesaian Metode Garis Selidik

Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).

Sehingga, biaya produksi minimum adalah

f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50)
f(40,50) = 800.000 + 1.500.000
f(40,50) = 2.300.000

Jadi nilai minimum nya yaitu Rp. 2.300.000,00

7. Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Jawab:

Diketahui:

contoh soal model matematika