Program Linear

Alda Eka (2) XI IPS 3

Pengertian Program Linear

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

• Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
• Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu:

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.
• Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :
  • Menggunakan garis selidik, dan
  • Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Lalu kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yaitu:

• Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah:

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yaitu:

• Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.
• Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut:

                                 

Bagi nilai a < 0 dan b < 0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1:

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu:

• Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

• Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar ialah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim ialah:

• 
• 
• 

Sehingga dapat diketahui hasilnya bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
•  dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg

Contoh Soal 4

Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun

Pembahasan 4 : 

Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z

x = 28 + y (1)

z = x – 6; atau x=z+6 (2)

x + y + z = 119 (3)

dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan

Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau

x + y + z = 119

2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 (4)

2x – y – z = 34

3x =153

Atau

x = 51

Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan

Y = 23; z = 45

Sehingga

jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y+z=23+45=68

Contoh Soal 5

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

5x + y ≥ 10

2x + y ≤ 8

        y ≥ 2

ditunjukkan oleh daerah . . .

Pembahasan 5 : 

• Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0

x = 2 → titik (2,0)

titk potong dengan sumbu y jika x = 0

y = 10 → titik (0,10)

daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) —(a)

• B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 → (4,0)

titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 → (0,8)

daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b)

•  C adalah garis y = 2

daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)

dari (a) , (b) dan (c) :

• 1. I II III V
• 2. III V
• 3. I II III IV

Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III

Contoh Soal 6

 Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear… 

Pembahasan 6 : 

karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka

x + 2y ≤ 8 ….(2)

Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4)

sehingga daerah penyelesaiannya adalah:

(1), (2), (3) dan (4)

3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x≥ 0, y≥ 0

Contoh Soal 7

Daerah yang diarsir pada grafik di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $\cdots \cdot$

Pembahasan 7 : 

Persamaan garis pertama: $50x+40y=50\cdot 40=2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $5x+4y=200$.
Titik $(0,0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $5x+4y\le 200$
Persamaan garis kedua: $40x+80y=40\cdot 80=3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $x+2y=80$.
Titik $(0,0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $x+2y\le 80$
Kendala non-negatif diberikan oleh $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$5x+4y\le 200;x+2y\le 80;x\ge 0;y\ge 0$

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\{\begin{array}{cc}5x+5y& =25\Rightarrow x+y=5\\ 3x+6y& =18\Rightarrow x+2y=6\end{array}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{array}{cc}& x+y=5\\ & x+2y=6\\ & -\\ & -y=-1\\ & y=1\end{array}$
Substitusikan $y=1$ pada persamaan pertama,
$\begin{array}{cc}x+y& =5\\ x+1& =5\\ x& =4\end{array}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4,1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0,3),(4,1)$, dan $(5,0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P=3x+5y$.
$\begin{array}{cc}\text{Titik Pojok}& P=3x+5y\\ (0,3)& 15\\ (4,1)& 17\\ (5,0)& 15\end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P=3x+5y$ adalah $17$

 

Contoh Soal 8

Perhatikan gambar berikut ini!

Nilai maksimum untuk fungsi objektif $P=3x+5y$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan 8 : 

Daerah penyelesaian itu memiliki 3 titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\{\begin{array}{cc}5x+5y& =25\Rightarrow x+y=5\\ 3x+6y& =18\Rightarrow x+2y=6\end{array}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{array}{cc}& x+y=5\\ & x+2y=6\\ & -\\ & -y=-1\\ & y=1\end{array}$
Substitusikan $y=1$ pada persamaan pertama,
$\begin{array}{cc}x+y& =5\\ x+1& =5\\ x& =4\end{array}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4,1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0,3),(4,1)$, dan $(5,0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P=3x+5y$.
$\begin{array}{cc}\text{Titik Pojok}& P=3x+5y\\ (0,3)& 15\\ (4,1)& 17\\ (5,0)& 15\end{array}$

Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P=3x+5y$ adalah $17$