Induksi Matematika dan contoh soal

Alda Eka (2) XI IPS 3

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

contoh soal ;

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Pembahasan:

Langkah 1

$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$

$1 = 1$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {terbukti).

induksi vs deduksi

1. Penalaran induksi (induktif)

Jadi, intinya yang diambil dari penalaran induktif itu sifatnya tidak pasti, melainkan “mungkin benar”. Salah satu kecenderungan umum dari penalaran induktif itu adalah dia mengambil kesimpulan general dari berbagai kasus khusus. Contohnya begini:

Joni sering bepergian keliling dunia. Ketika dia ke Amerika, dia melihat seluruh angsa di sana warnanya putih. Ketika dia pergi ke Eropa, dia melihat seluruh angsa di sana warnanya putih juga. Ketika dia pergi ke Tiongkok, ternyata seluruh angsa di sana warnanya juga putih. Akhirnya dia berkesimpulan bahwa seluruh angsa di dunia ini warnanya putih.

Yang dilakukan Joni ini adalah penalaran induktif. Di sini kamu bisa lihat bahwa penalaran semacam itu masih mungkin salah. Bahkan pada kasus ini, ya kesimpulannya memang salah. Kalau aja Joni sempet dateng ke Australia, dia akan melihat angsa yang berwarna hitam di sana. Jadi, kesimpulan bahwa seluruh angsa di dunia ini berwarna putih itu salah.

2. Penalaran deduksi (deduktif)

Dari definisi ini jelas ya bahwa penalaran deduktif itu sifatnya pasti. Dalam penalaran deduktif, tidak ada generalisasi. Contoh penalaran deduktif itu seperti ini:

Premis 1: Semua orang akan mati

Premis 2: Socrates adalah orang

Kesimpulan: Socrates akan mati

Contoh di atas adalah contoh klasik penalaran deduktif. Jadi kalau premis 1 dan premis 2 itu benar, maka kesimpulannya juga sudah pasti benar juga. Kita lihat contoh lain yah.

Premis 1: Semua bebek kakinya tiga

Premis 2: Donal adalah bebek

Kesimpulan: Donal kakinya tiga

Nah, di sini kayaknya ada yang salah nih, kok Donal kakinya tiga. Bukannya dua? Apakah kesimpulan di atas itu benar? Well, gara-gara premisnya salah, kesimpulannya jadi salah juga. Tapi penalaran di atas itu adalah penalaran yang valid secara deduktif. Kenapa valid? Karena kalau kita asumsikan premis 1 itu benar, dan premis 2 itu benar juga, maka “Donal kakinya tiga” adalah kesimpulan yang valid, atau bahasa Indonesianya, kesimpulan yang sah.

Penalaran Deduktif dalam Matematika

Penalaran deduktif ini adalah central-nya matematika. Berbagai operasi yang lo lakukan di matematika itu dasarnya adalah penalaran deduktif ini. Salah satu contoh yang paling sederhana itu gini:

Premis 1: y = 2x + 3

Premis 2: x = 2

Kesimpulan: y = 2(2) + 3 = 7

Kebayang kan? Jadi kalau kita berasumsi bahwa premis yang pertama benar (y=2x+3) dan premis yang ke dua juga benar (x=2), maka kesimpulan bahwa y=7 juga merupakan kesimpulan yang valid.

Kalau kita mempelajari matematika dengan baik, sebenarnya lo bisa lihat bahwa berbagai pembuktian yang dilakukan dalam matematika itu menggunakan penalaran deduktif ini. Contohnya, ketika kita ingin membuktikan persamaan berikut ini: