Pengertian Turunan dan Sifat-sifatnya bersama Contoh Soalnya

Nama : Alda Eka Febriyanti

Absen : 2

Kelas : XI IPS 3 

 

Pengertian Turunan dan Sifat-sifatnya beserta Contohnya 

 

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

Rumus Turunan

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

 

Sifat-sifat Turunan


1. Jika f(x)=cf(x)=c dimana cc adalah konstanta, maka turunannya adalah f′(x)=0f'(x)=0

Contoh: f(x)=2→f′(x)=0f(x)=13→f′(x)=0f(x)=100→f′(x)=0 \begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}


 2. Jika f(x)=cxf(x)=cx, maka turunannya adalah f′(x)=cf'(x)=c

Contoh: f(x)=2x→f′(x)=2f(x)=13x→f′(x)=13f(x)=100x→f′(x)=100 \begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}


3. Jika f(x)=xnf(x)=x^n maka turunannya adalah f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}

Contoh: f(x)=x4→f′(x)=4x3f(x)=x3→f′(x)=3x2f(x)=x2→f′(x)=2x \begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}


4. Jika f(x)=cxnf(x)=cx^nmaka turunannya adalah f′(x)=cnxn−1f'(x)=cnx^{n-1}

Contoh: f(x)=2x4→f′(x)=8x3f(x)=13x3→f′(x)=39x2f(x)=100x2→f′(x)=200x \begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}


5. Jika f(x)=cu(x)f(x)=c\,u(x) maka turunannya adalah f′(x)=cu′(x)f'(x)=c\,u'(x)

Contoh: f(x)=4ln⁡x→f′(x)=41xf(x)=3cos⁡x→f′(x)=3sin⁡xf(x)=2sin⁡x→f′(x)=−2cos⁡x \begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}


6. Jika f(x)=u(x)±v(x)f(x)=u(x)\pm v(x) maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)±v′(x)f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Contoh: f(x)=2x+x2→f′(x)=2+2xf(x)=x4−x3→f′(x)=4x3−3x2f(x)=sin⁡x+cos⁡x→f′(x)=cos⁡x−sin⁡x \begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}


7. Jika f(x)=u(x)v(x)f(x)=u(x)v(x) maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Contoh: f(x)=x4x3 f(x)=x^4x^3 Misalkan u(x)=x4u(x)=x^4 dan v(x)=x3,v(x)=x^3, maka u′(x)=4x3u'(x)=4x^3 dan v′(x)=3x2,v'(x)=3x^2, sehingga f′(x)=(4x3)(x3)+(x4)(3x2)=4x6+3x6=7x6

  \begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}

8. Jika f(x)=u(x)v(x)f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}
maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}

Contoh: f(x)=x4x3 f(x)=\frac{x^4}{x^3} Misalkan u(x)=x4u(x)=x^4 dan v(x)=x3,v(x)=x^3, maka u′(x)=4x3u'(x)=4x^3 dan v′(x)=3x2,v'(x)=3x^2, sehingga f′(x)=(4x3)(x3)−(x4)(3x2)(x3)2=4x6−3x6x6=1 \begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}


9. Jika f(x)=u(x)nf(x)={u(x)}^n maka turunannya adalah f′(x)=n(u(x))n−1u′(x)f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)

Contoh: f(x)=(2x+x2)4 f(x)=(2x+x^2)^4 Misalkan u(x)=2x+x2,u(x)=2x+x^2, sehingga u′(x)=2+2x,u'(x)=2+2x, maka f′(x)=4(2x+x2)3(2+2x) f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)

 

 

 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini