Pengertian Turunan dan Sifat-sifatnya bersama Contoh Soalnya

Nama : Alda Eka Febriyanti

Absen : 2

Kelas : XI IPS 3 

 

Pengertian Turunan dan Sifat-sifatnya beserta Contohnya 

 

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

Rumus Turunan

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

 

Sifat-sifat Turunan


1. Jika f(x)=cf(x)=c dimana cc adalah konstanta, maka turunannya adalah f′(x)=0f'(x)=0

Contoh: f(x)=2→f′(x)=0f(x)=13→f′(x)=0f(x)=100→f′(x)=0 \begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}


 2. Jika f(x)=cxf(x)=cx, maka turunannya adalah f′(x)=cf'(x)=c

Contoh: f(x)=2x→f′(x)=2f(x)=13x→f′(x)=13f(x)=100x→f′(x)=100 \begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}


3. Jika f(x)=xnf(x)=x^n maka turunannya adalah f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}

Contoh: f(x)=x4→f′(x)=4x3f(x)=x3→f′(x)=3x2f(x)=x2→f′(x)=2x \begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}


4. Jika f(x)=cxnf(x)=cx^nmaka turunannya adalah f′(x)=cnxn−1f'(x)=cnx^{n-1}

Contoh: f(x)=2x4→f′(x)=8x3f(x)=13x3→f′(x)=39x2f(x)=100x2→f′(x)=200x \begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}


5. Jika f(x)=cu(x)f(x)=c\,u(x) maka turunannya adalah f′(x)=cu′(x)f'(x)=c\,u'(x)

Contoh: f(x)=4ln⁡x→f′(x)=41xf(x)=3cos⁡x→f′(x)=3sin⁡xf(x)=2sin⁡x→f′(x)=−2cos⁡x \begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}


6. Jika f(x)=u(x)±v(x)f(x)=u(x)\pm v(x) maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)±v′(x)f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Contoh: f(x)=2x+x2→f′(x)=2+2xf(x)=x4−x3→f′(x)=4x3−3x2f(x)=sin⁡x+cos⁡x→f′(x)=cos⁡x−sin⁡x \begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}


7. Jika f(x)=u(x)v(x)f(x)=u(x)v(x) maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Contoh: f(x)=x4x3 f(x)=x^4x^3 Misalkan u(x)=x4u(x)=x^4 dan v(x)=x3,v(x)=x^3, maka u′(x)=4x3u'(x)=4x^3 dan v′(x)=3x2,v'(x)=3x^2, sehingga f′(x)=(4x3)(x3)+(x4)(3x2)=4x6+3x6=7x6

  \begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}

8. Jika f(x)=u(x)v(x)f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}
maka turunannya adalah f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}

Contoh: f(x)=x4x3 f(x)=\frac{x^4}{x^3} Misalkan u(x)=x4u(x)=x^4 dan v(x)=x3,v(x)=x^3, maka u′(x)=4x3u'(x)=4x^3 dan v′(x)=3x2,v'(x)=3x^2, sehingga f′(x)=(4x3)(x3)−(x4)(3x2)(x3)2=4x6−3x6x6=1 \begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}


9. Jika f(x)=u(x)nf(x)={u(x)}^n maka turunannya adalah f′(x)=n(u(x))n−1u′(x)f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)

Contoh: f(x)=(2x+x2)4 f(x)=(2x+x^2)^4 Misalkan u(x)=2x+x2,u(x)=2x+x^2, sehingga u′(x)=2+2x,u'(x)=2+2x, maka f′(x)=4(2x+x2)3(2+2x) f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)

 

 

 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Contoh Soal Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral

Gambar
Nama: Alda Eka Febriyanti (2) Kelas: XI IPS 3 Contoh Soal Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral 1.  Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva   x − y 2 + 1 = 0 x − y 2 + 1 = 0 ,  − 1 ≤ x ≤ 4 − 1 ≤ x ≤ 4 , dan sumbu- X X , diputar mengelilingi sumbu- X X  sejauh  360 ∘ 360 ∘  adalah  ⋯ ⋯  satuan volume. A.  8 1 2 π 8 1 2 π                     D.  12 1 2 π 12 1 2 π B.  9 1 2 π 9 1 2 π                     E.  13 1 2 π 13 1 2 π C.  11 1 2 π 11 1 2 π Pembahasan Kurva  x − y 2 + 1 = 0 x − y 2 + 1 = 0  dapat ditulis menjadi  y 2 = x + 1 y 2 = x + 1 . Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak  x = − 1 x = − 1  dan  x = 4 x = 4 , kita akan memperoleh gambar seperti berikut. Daerah yang diarsir merupakan daerah yang d...
Baca selengkapnya

Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

Nama : Alda Eka Febriyanti  Absen : 2 Kelas : XI IPS 3       Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal     Persamaan Garis Persamaan garis yang melalui titik ( x 1 , y 1 )  dengan gradien m adalah : y − y 1 = m ( x − x 1 ) Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik ( 1 , 4 ) dengan m = 3 adalah y − 4 = 3(x − 1) y − 4 = 3x − 3 y = 3x + 1 Gradien Garis Gradien  dari persamaan garis : y = ax + b          ⇒ m = a ax + by + c = 0  ⇒ m = − a b Contoh : y = −2x + 1  ⇒ m = −2 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = − 6 − 2 = 3 Gradien garis yang melalui titik  ( x 1 , y 1 )  dan  ( x 2 , y 2 )   adalah : m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah : m = t a n α Gradien Garis A dan B : Sejajar : m A = m B Tegak lurus : m ...
Baca selengkapnya

Fungsi Linear, Kuadrat, Rasional, Irasional dan Grafiknya

Gambar
  Nama : Alda Eka Febriyanti Absen : 2 Kelas : XI IPS 3  Fungsi Linear, Kuadrat, Rasional, Irasional dan Grafiknya   1. Fungsi Linear   Pengertian Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi y =  f (x) dengan  f (x) = ax + b (a, b  ∈  R  dan a  ≠  0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variable x. Bentuk Grafik Fungsi Linear Grafik fungsi linear y =  f (x) = ax + b dalam bidang Cartesius berupa  garis lurus  yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. Grafik fungsi linear ini memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut gradien atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan a = tan  α dimana α merupakan sudut yang dibentuk oleh gari s lurus terhadap sumbu X positif. Perhatikan gambar grafik fungsi linear di bawah ini.   Contoh Soal   Diketahui fungsi linear  f...
Baca selengkapnya