Soal dan pembahasan Trigonometri Remedial PAT

Alda Eka (2) X IPS 3

Soal dan Pembahasan Trigonometri Remedial PAT

Perbandingan trigonometri

1. Besar sudut 3/4 π rad sama dengan
Jawaban:
Ingat bahwa π rad=180°
Dengan demikian,
3/4 π rad = 3/4 x 180°
                  = 135°
Jadi, besar sudut 3/4 π rad sama dengan 135°

‌2. Besar sudut 72° sama dengan ..... rad
Jawaban:
Ingat bahwa 1° = π/180 rad
Dengan demikian,
72° = 72 x π/180 rad
       = 2/5 π rad
Jadi, besar sudut 72° sama dengan 2/5 π rad

3. Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.

                 

Mencari RQ :

Mencari RP :

Mencari sudut R :

jadi, sudut r adalah 90°

4. Dalam ketidaksamaan berikut, besarnya sudut dinyatakan dalam satuan radian. Ketidaksamaan yang benar adalah ...

Penyelesaian : Diketahui bahwa

$\begin{array}{cc}1\text{rad}& \approx 57,3^{\circ }\\ 2\text{rad}& \approx 114,6^{\circ }\\ 3\text{rad}& \approx 171,9^{\circ }\end{array}$
Ini berarti,
$$\begin{array}{cc}\sin 1& \approx \sin 57,3^{\circ }\\ \sin 2& \approx \sin 114,6^{\circ }=\sin (180-65,4{)}^{\circ }=\sin 65,4^{\circ }\\ \sin 3& \approx \sin 57,3^{\circ }=\sin (180-8,1{)}^{\circ }=\sin 8,1^{\circ }\end{array}$$Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju $1$. Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah $\sin 8,1^{\circ }<\sin 57,3^{\circ }<\sin 65,4^{\circ }$ atau dalam radian ditulis $sin$3 < sin 1 < sin 2

5. Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?

Jawab:

3,5 radian = 3,5 x(180°/π) = 200,535°

6. Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!

Jawab:

2,2 radian = 2,2 x (180°/π) = 126°

7. 15° berapa radian?

Jawab:

15° = 15 x (π/180) = 0,265 radian

 8. Nyatakan sudut 60° dalam π radian!

Jawab:

60° = 60 x (π/180) = π/3 radian

9. Diketahui 
$△ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$
B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$
C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan :
Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$
Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
(Jawaban B)

Sudut Berelasi

1. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

2. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

3. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘

Jawab :

sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°

Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1

4. Hitung lah nilai dari sin 150° ...
a. 1/2
b. 1/3
c. 1/4
d. 2/3
e. 2/5

Pembahasan :
Menggunakan komplemen 90 sehingga memperoleh sin 150° = (90° + 60°) = cos 60° = 1/2 (A)

Sinus Cosinus

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB

2. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

3. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60°, tentukan panjang sisi AB

Persamaan Trigonometri

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

Jawaban: 

2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

Jawaban: 

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..

Jawaban: 

4. Diketahui koordinat titik A(−2√2,−2√2).Koordinat kutub dari titik A adalah ⋯⋅

A. (4,210∘)                 D. (5,240∘) 
B. (2,240∘)                 E. (4,225∘)
C. (2,225∘)

Pembahasan :

Diketahui: x=y=−2√2
Koordinat kutubnya berbentuk (r,θ), dengan
r=√x2+y2=√(−2√2)2+(−2√2)2=√8+8=4
dan
tanθ=yx=−2√2−2√2=1⇒θ=45∘∨225∘
Karena titik A berada di kuadran III (nilai x dan ynegatif), maka θ=225∘. 
Jadi, koordinat kutub dari A(−2√2,−2√2)adalah (4,225∘)
(Jawaban E)

Grafik Trigonometri

Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

Pembahasan: 

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang  sampai dengan  memuat setengah periode.

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).

Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh  ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + .

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah: